Power Series vs Taylor Series
Riyaziyyatda həqiqi ardıcıllıq həqiqi ədədlərin ardıcıl siyahısıdır. Formal olaraq, natural ədədlər çoxluğundan həqiqi ədədlər çoxluğuna qədər funksiyadır. Əgər an ardıcıllığın nth terminidirsə, biz ardıcıllığı 1 ilə və ya ilə işarə edirik., a 2, …, an, …. Məsələn, 1, ½, ⅓, …, 1 ardıcıllığını nəzərdən keçirək / n, …. {1/n} kimi qeyd oluna bilər.
Ardıcıllıqdan istifadə edərək seriya müəyyən etmək mümkündür. Bir sıra ardıcıllığın şərtlərinin cəmidir. Buna görə də, hər bir ardıcıllıq üçün əlaqəli ardıcıllıq var və əksinə. Əgər {an} nəzərdən keçirilən ardıcıllıqdırsa, o zaman həmin ardıcıllıqla əmələ gələn sıra aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:
Beləliklə, yuxarıdakı nümunədə əlaqəli seriya 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Adlardan da göründüyü kimi, güc seriyası seriyanın xüsusi növüdür və o, Ədədi Analizdə və əlaqəli riyazi modelləşdirmədə geniş istifadə olunur. Taylor seriyası tanınmış funksiyaları təmsil etmək üçün alternativ və asan manipulyasiya üsulunu təmin edən xüsusi güc seriyasıdır.
Güc seriyası nədir?
Güc seriyası formasının seriyasıdır
bu c mərkəzində olan bəzi intervallar üçün konvergentdir (ehtimaldır). anəmsalları həqiqi və ya mürəkkəb ədədlər ola bilər və x-dən asılı deyildir; yəni saxta dəyişən.
Məsələn, hər n üçün an=1 və c=0 təyin etməklə, güc seriyası 1+x+x2 +…..+ x+… əldə edilir. Müşahidə etmək asandır ki, x ε (-1, 1) olduqda bu güc seriyası 1/(1-x)-ə yaxınlaşır.
Qüvvət seriyası x=c olduqda birləşir. Qüvvət sıralarının birləşdiyi x-in digər qiymətləri həmişə c-də mərkəzləşmiş açıq interval formasını alacaq. Yəni 0≤ R ≤ ∞ elə bir dəyər olacaq ki, hər bir x təmin edən |x-c|≤ R üçün güc seriyası konvergent və hər x təmin edən |x-c|> R üçün güc seriyası divergent olsun. Bu dəyər R güc seriyasının yaxınlaşma radiusu adlanır (R istənilən real qiymət və ya müsbət sonsuzluq qəbul edə bilər).
Güc seriyalarını aşağıdakı qaydalardan istifadə etməklə əlavə etmək, çıxmaq, vurmaq və bölmək olar. İki güc seriyasını nəzərdən keçirin:
Sonra,
yəni kimi terminlər birlikdə toplanır və ya çıxılır. Həmçinin,eyniliyindən istifadə edərək iki güc seriyasını çox altmaq və bölmək mümkündür.
Taylor seriyası nədir?
Teylor seriyası intervalda sonsuz diferensiallaşan f (x) funksiyası üçün müəyyən edilmişdir. F (x) mərkəzi c-də olan intervalda diferensiallana bilər. Sonrailə verilən güc seriyası
f (x) funksiyasının c haqqında Taylor seriyası genişlənməsi adlanır. (Burada f(n) (c) x=c nöqtəsində nthtörəməni göstərir). Ədədi Analizdə seriyanın orijinal funksiyaya yaxınlaşdığı nöqtələrdə dəyərlərin hesablanmasında bu sonsuz genişlənmədə sonlu sayda terminlərdən istifadə olunur.
F (x) funksiyasının (a, b) intervalında analitik olduğu deyilir, əgər hər bir x ε (a, b) üçün f (x)-in Teylor seriyası f () funksiyasına yaxınlaşırsa x). Məsələn, 1/(1-x) analitikdir (-1, 1), çünki onun Taylor genişləndirilməsi 1+x+x2+….+ x +… həmin intervaldakı funksiyaya yaxınlaşır və ex hər yerdə analitikdir, çünki ex-nin Teylor seriyası e ilə birləşir. x hər real ədəd üçün x.
Power seriyası ilə Taylor seriyası arasındakı fərq nədir?
1. Taylor seriyası yalnız bəzi açıq intervalda sonsuz diferensiallaşan funksiyalar üçün müəyyən edilmiş güc seriyalarının xüsusi sinfidir.
2. Taylor seriyası xüsusi forma alır
halbuki, güc seriyasıformasının istənilən seriyası ola bilər
