Xətti və Qeyri-xətti Diferensial Tənliklər
Ən azı bir diferensial əmsalı və ya naməlum dəyişənin törəməsini ehtiva edən tənlik diferensial tənlik kimi tanınır. Diferensial tənlik xətti və ya qeyri-xətti ola bilər. Bu məqalənin əhatə dairəsi xətti diferensial tənliyin nə olduğunu, qeyri-xətti diferensial tənliyin nə olduğunu və xətti və qeyri-xətti diferensial tənliklər arasındakı fərqin nə olduğunu izah etməkdir.
18-ci əsrdə Nyuton və Leybnits kimi riyaziyyatçılar tərəfindən hesablamanın inkişafından bəri diferensial tənlik riyaziyyat hekayəsində mühüm rol oynamışdır. Diferensial tənliklər tətbiq dairəsinə görə riyaziyyatda böyük əhəmiyyət kəsb edir. Fizika, mühəndislik, kimya, statistika, maliyyə təhlili və ya biologiyada (siyahı sonsuzdur) dünyada hər hansı bir ssenari və ya hadisəni izah etmək üçün hazırladığımız hər bir modelin mərkəzində diferensial tənliklər dayanır. Əslində, hesablama müəyyən bir nəzəriyyəyə çevrilənə qədər təbiətdəki maraqlı problemləri təhlil etmək üçün lazımi riyazi alətlər mövcud deyildi.
Hesablamanın xüsusi tətbiqindən əldə edilən tənliklər çox mürəkkəb ola bilər və bəzən həll edilə bilməz. Bununla belə, həll edə biləcəyimiz, lakin oxşar və çaşdırıcı görünə bilənlər var. Buna görə də, daha asan müəyyən etmək üçün diferensial tənliklər riyazi davranışlarına görə təsnif edilir. Xətti və qeyri-xətti belə təsnifatlardan biridir. Xətti və qeyri-xətti diferensial tənliklər arasındakı fərqi müəyyən etmək vacibdir.
Xətti Diferensial Tənlik nədir?
Fərz edək ki, f: X→Y və f(x)=y, naməlum y funksiyasının və onun törəmələrinin qeyri-xətti şərtləri olmayan diferensial tənlik xətti diferensial tənlik kimi tanınır.
Bu şərt qoyur ki, y daha yüksək indeks şərtləri ola bilməz, məsələn y2, y3, … və törəmələrin çoxluğukimi
O, həmçinin Sin y, e y ^-2 və ya ln y kimi qeyri-xətti terminləri ehtiva edə bilməz. Buformasını alır
burada y və g x funksiyalarıdır. Tənlik ən yüksək dərəcəli törəmənin indeksi olan n dərəcəli diferensial tənlikdir.
Xətti diferensial tənlikdə diferensial operator xətti operatordur və həllər vektor fəzasını təşkil edir. Həll çoxluğunun xətti xarakteri nəticəsində məhlulların xətti kombinasiyası da diferensial tənliyin həllidir. Yəni y1 və y2 diferensial tənliyin həllidirsə, onda C1 y 1+ C2 y2 də həll yoludur.
Tənliyin xəttiliyi təsnifatın yalnız bir parametridir və o, daha sonra homojen və ya qeyri-homogen və adi və ya qismən diferensial tənliklərə təsnif edilə bilər. Əgər funksiya g=0 olarsa, tənlik xətti homojen diferensial tənlikdir. Əgər f iki və ya daha çox müstəqil dəyişənin funksiyasıdır (f: X, T→Y) və f(x, t)=y, onda tənlik xətti qismən diferensial tənlikdir.
Diferensial tənliyin həlli üsulu diferensial tənliyin növündən və əmsallarından asılıdır. Ən asan hal əmsallar sabit olduqda yaranır. Bu işin klassik nümunəsi Nyutonun ikinci hərəkət qanunu və onun müxtəlif tətbiqləridir. Nyutonun ikinci qanunu sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti diferensial tənlik yaradır.
Qeyri-xətti Diferensial Tənlik nədir?
Qeyri-xətti şərtləri ehtiva edən tənliklər qeyri-xətti diferensial tənliklər kimi tanınır.
Yuxarıdakıların hamısı qeyri-xətti diferensial tənliklərdir. Qeyri-xətti diferensial tənlikləri həll etmək çətindir, buna görə də düzgün həlli əldə etmək üçün yaxından öyrənmək lazımdır. Qismən diferensial tənliklər olduqda, tənliklərin əksəriyyətinin ümumi həlli yoxdur. Buna görə də, hər bir tənliyə müstəqil yanaşmaq lazımdır.
Navier-Stokes tənliyi və maye dinamikasında Eyler tənliyi, Eynşteynin ümumi nisbilik sahəsi tənlikləri yaxşı bilinən qeyri-xətti qismən diferensial tənliklərdir. Bəzən Laqranj tənliyinin dəyişən sistemə tətbiqi qeyri-xətti qismən diferensial tənliklər sistemi ilə nəticələnə bilər.
Xətti və Qeyri-xətti Diferensial Tənliklər arasındakı fərq nədir?
• Naməlum və ya asılı dəyişənin və onun törəmələrinin yalnız xətti şərtlərinə malik olan diferensial tənlik xətti diferensial tənlik kimi tanınır. Onun asılı dəyişəni 1-dən yüksək olan heç bir termini yoxdur və törəmələrinin heç bir qatını ehtiva etmir. O, asılı dəyişənə münasibətdə triqonometrik funksiyalar, eksponensial funksiyalar və loqarifmik funksiyalar kimi qeyri-xətti funksiyalara malik ola bilməz. Yuxarıda qeyd olunan şərtləri ehtiva edən istənilən diferensial tənlik qeyri-xətti diferensial tənlikdir.
• Xətti diferensial tənliklərin həlli vektor fəzasını yaradır və diferensial operator da vektor fəzasında xətti operatordur.
• Xətti diferensial tənliklərin həlli nisbətən asandır və ümumi həllər mövcuddur. Qeyri-xətti tənliklər üçün əksər hallarda ümumi həll mövcud deyil və həll problemə xas ola bilər. Bu, həlli xətti tənliklərdən qat-qat çətinləşdirir.
