Törəmə vs Diferensial
Differensial hesablamada funksiyanın törəməsi və diferensialı bir-biri ilə sıx bağlıdır, lakin çox fərqli mənalara malikdir və diferensiallana bilən funksiyalarla əlaqəli iki mühüm riyazi obyekti təmsil etmək üçün istifadə olunur.
Törəmə nədir?
Funksiyanın törəməsi, onun girişi dəyişdikcə funksiya dəyərinin dəyişmə sürətini ölçür. Çoxdəyişənli funksiyalarda funksiyanın qiymətinin dəyişməsi müstəqil dəyişənlərin qiymətlərinin dəyişmə istiqamətindən asılıdır. Ona görə də belə hallarda konkret istiqamət seçilir və funksiya həmin istiqamətdə diferensiallaşdırılır. Həmin törəmə istiqamətli törəmə adlanır. Qismən törəmələr istiqamətli törəmələrin xüsusi növüdür.
Vektor qiymətli f funksiyasının törəməsi [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac limiti kimi təyin edilə bilər {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] sonsuz mövcud olduğu yerdə. Əvvəl qeyd edildiyi kimi, bu, u vektorunun istiqaməti boyunca f funksiyasının artım sürətini verir. Tək qiymətli funksiya vəziyyətində bu, törəmənin məlum tərifinə, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\-dən 0}\\frac{f-ə qədər azaldır. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Məsələn, [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] hər yerdə diferensiallana bilir və törəmə limitə bərabərdir, [lateks]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], hansı [lateks]3x^{2}+4[/latex]-ə bərabərdir. [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] kimi funksiyaların törəmələri hər yerdə mövcuddur. Onlar müvafiq olaraq [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] funksiyalarına bərabərdirlər.
Bu, ilk törəmə kimi tanınır. Adətən f funksiyasının birinci törəməsi f (1) ilə işarələnir. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ikinci dərəcəli istiqamətli törəmədir və n th törəməni f (n) ilə ifadə edir hər n üçün, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ ilə 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th törəməni təyin edir.
Diferensial nədir?
Funksiyanın diferensialı müstəqil dəyişən və ya dəyişənlərdəki dəyişikliklərlə əlaqədar funksiyanın dəyişməsini təmsil edir. Adi qeydlərdə, tək dəyişənli x-in verilmiş f funksiyası üçün 1 df dərəcəli ümumi diferensial [lateks]df=f^{1}(x)dx[/latex] ilə verilir. Bu o deməkdir ki, x-də sonsuz kiçik dəyişiklik üçün (yəni d x), f-də f (1)(x)d x dəyişiklik olacaq.
Limitlərdən istifadə etməklə bu tərif aşağıdakı kimi başa düşə bilər. Fərz edək ki, ∆ x ixtiyari x nöqtəsində x-in dəyişməsi və ∆ f f funksiyasında müvafiq dəyişiklikdir. Göstərilə bilər ki, ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, burada ϵ xətadır. İndi limit ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (əvvəlcədən törəmə tərifindən istifadə etməklə) və beləliklə, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Buna görə də, bunu etmək mümkündür. belə nəticəyə gəlmək olar ki, ∆ x→ 0 ϵ=0. İndi ∆ x→ 0 ∆ f-ni d f kimi və ∆ x→ 0 ∆ x-i d x kimi ifadə etməklə diferensialın tərifi ciddi şəkildə alınır.
Məsələn, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] funksiyasının diferensialı [latex](3x^{2}+4)dx[/lateks].
İki və ya daha çox dəyişənin funksiyaları halında, funksiyanın ümumi diferensialı müstəqil dəyişənlərin hər birinin istiqamətləri üzrə diferensialların cəmi kimi müəyyən edilir. Riyazi olaraq onu [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex] kimi ifadə etmək olar..
Törəmə və diferensial arasındakı fərq nədir?
• Törəmə funksiyanın dəyişmə sürətinə, diferensial isə müstəqil dəyişən dəyişikliyə məruz qaldıqda funksiyanın faktiki dəyişməsinə aiddir.
• Törəmə [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ ilə verilir h}[/latex], lakin diferensial [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] ilə verilir.
