Fərqləndirmə və Törəmə
Differensial hesablamada törəmə və diferensiallaşma bir-biri ilə sıx bağlıdır, lakin çox fərqlidir və funksiyalarla əlaqəli iki mühüm riyazi anlayışı təmsil etmək üçün istifadə olunur.
Törəmə nədir?
Funksiyanın törəməsi, onun girişi dəyişdikcə funksiya dəyərinin dəyişmə sürətini ölçür. Çoxdəyişənli funksiyalarda funksiyanın qiymətinin dəyişməsi müstəqil dəyişənlərin qiymətlərinin dəyişmə istiqamətindən asılıdır. Ona görə də belə hallarda konkret istiqamət seçilir və funksiya həmin istiqamətdə diferensiallaşdırılır. Həmin törəmə istiqamətli törəmə adlanır. Qismən törəmələr istiqamətli törəmələrin xüsusi növüdür.
Vektor qiymətli f funksiyasının törəməsi [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac limiti kimi təyin edilə bilər {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] sonsuz mövcud olduğu yerdə. Əvvəl qeyd edildiyi kimi, bu, u vektorunun istiqaməti boyunca f funksiyasının artım sürətini verir. Tək qiymətli funksiya vəziyyətində bu, törəmənin məlum tərifinə, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\-dən 0}\\frac{f-ə qədər azaldır. (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Məsələn, [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] hər yerdə diferensiallana bilir və törəmə limitə bərabərdir, [lateks]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], hansı [lateks]3x^{2}+4[/latex]-ə bərabərdir. [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] kimi funksiyaların törəmələri hər yerdə mövcuddur. Onlar müvafiq olaraq [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] funksiyalarına bərabərdirlər.
Bu, ilk törəmə kimi tanınır. Adətən f funksiyasının birinci törəməsi f (1) ilə işarələnir. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ikinci dərəcəli istiqamətli törəmədir və n th törəməni f (n) ilə ifadə edir hər n üçün, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ ilə 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th törəməni təyin edir.
Fərqlənmə nədir?
Diferensiallaşma diferensiallaşan funksiyanın törəməsinin tapılması prosesidir. D ilə işarələnmiş D-operatoru bəzi kontekstlərdə diferensiasiyanı təmsil edir. Əgər x müstəqil dəyişəndirsə, D ≡ d/dx. D-operator xətti operatordur, yəni hər hansı iki diferensiallana bilən f və g funksiyası və c sabiti üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər saxlanılır.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-operatorundan istifadə edərək diferensiallaşdırma ilə bağlı digər qaydaları aşağıdakı kimi ifadə etmək olar. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2və D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Məsələn, F(x)=x 2sin x verilən qaydalardan istifadə etməklə x-ə görə diferensiallaşdırıldıqda cavab 2 x sin x + xolacaq 2cos x.
Fərqlənmə ilə törəmə arasındakı fərq nədir?• Törəmə funksiyanın dəyişmə sürətinə istinad edir • Fərqləndirmə funksiyanın törəməsinin tapılması prosesidir. |
