Assosiativ və Kommutativ
Gündəlik həyatımızda bir şeyin ölçüsünü əldə etmək üçün hər zaman rəqəmlərdən istifadə etməliyik. Ərzaq mağazasında, yanacaqdoldurma məntəqəsində və hətta mətbəxdə iki və ya daha çox miqdarları toplamaq, çıxmaq və çox altmaq lazımdır. Təcrübəmizdən bu hesablamaları olduqca səylə yerinə yetiririk. Biz bu əməliyyatları niyə bu şəkildə etdiyimizi heç vaxt fərq etmirik və sorğulamırıq. Və ya niyə bu hesablamalar fərqli şəkildə edilə bilməz. Cavab bu əməliyyatların cəbrin riyazi sahəsində necə müəyyən edildiyində gizlidir.
Cəbrdə iki kəmiyyəti əhatə edən əməliyyat (məsələn, toplama kimi) ikili əməliyyat kimi müəyyən edilir. Daha doğrusu, çoxluğun iki elementi arasındakı əməliyyatdır və bu elementlər “operand” adlanır. Riyaziyyatda bir çox əməliyyatlar, o cümlədən əvvəllər qeyd olunan arifmetik əməliyyatlar və çoxluq nəzəriyyəsində, xətti cəbrdə və riyazi məntiqdə rast gəlinən əməliyyatlar ikili əməliyyatlar kimi müəyyən edilə bilər.
Xüsusi ikili əməliyyata aid bir sıra idarəetmə qaydaları var. Assosiativ və kommutativ xassələr binar əməliyyatların iki əsas xassəsidir.
Komutativ Mülkiyyət haqqında ətraflı
Fərz edək ki, A və B elementləri üzərində ⊗ simvolu ilə qeyd olunan hansısa ikili əməliyyat yerinə yetirilib. Operandların sırası əməliyyatın nəticəsinə təsir etmirsə, əməliyyatın kommutativ olduğu deyilir. yəni A ⊗ B=B ⊗ A olarsa, əməliyyat kommutativdir.
Arifmetik toplama və vurma əməliyyatları kommutativdir. Bir-birinə toplanan və ya vurulan rəqəmlərin sırası yekun cavaba təsir etmir:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Amma bölgü zamanı sıra dəyişməsi digərinin əksini verir, çıxmada isə dəyişiklik digərinin mənfisini verir. Buna görə, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 və 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 və 5 ÷ 4=1,25 [bu halda A, B ≠ 1 və 0]
Əslində, çıxmanın anti-kommutativ olduğu deyilir; burada A – B=– (B – A).
Həmçinin məntiqi bağlayıcılar, birləşmə, disyunksiya, implikasiya və ekvivalentlik də kommutativdir. Həqiqət funksiyaları da kommutativdir. Set əməliyyatlar birliyi və kəsişmə kommutativdir. Toplama və vektorların skalyar hasili də kommutativdir.
Lakin vektor çıxması və vektor hasili kommutativ deyil (iki vektorun vektor hasili antikommutativdir). Matris əlavəsi kommutativdir, lakin vurma və çıxma kommutativ deyil.(Matrisin tərsi və ya eynilik matrisi ilə vurulması kimi xüsusi hallarda iki matrisin vurulması kommutativ ola bilər; lakin matrislər eyni ölçüdə deyilsə, mütləq matrislər kommutativ deyil)
Assosiativ Mülkiyyət haqqında ətraflı
Operatorun iki və ya daha çox təkrarı mövcud olduqda icra sırası nəticəyə təsir etmirsə, ikili əməliyyatın assosiativ olduğu deyilir. A, B və C elementlərini və ikili əməliyyatı ⊗ nəzərdən keçirək. Əməliyyatın ⊗ assosiativ olduğu deyilir, əgər
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Əsas arifmetik funksiyalardan yalnız toplama və vurma assosiativdir.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Çıxma və bölmə assosiativ deyil;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 və (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 və (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
Məntiqi bağlayıcılar disjunksiya, birləşmə və ekvivalentlik, həmçinin təyin edilmiş əməliyyatların birliyi və kəsişməsi də assosiativdir. Matris və vektor əlavəsi assosiativdir. Vektorların skalyar hasili assosiativdir, vektor hasil isə deyil. Matris vurulması yalnız xüsusi hallarda assosiativdir.
Komutativ və Assosiativ Mülkiyyət arasındakı fərq nədir?
• Həm assosiativ xassə, həm də kommutativ xassə binar əməliyyatların xüsusi xassələridir və bəziləri onları qane edir, bəziləri isə yox.
• Bu xassələri çoxluq nəzəriyyəsində kəsişmə və birləşmə və ya məntiqi birləşdiricilər kimi cəbri əməliyyatların və riyaziyyatda digər ikili əməliyyatların bir çox formalarında görmək olar.
• Kommutativ və assosiativ arasındakı fərq ondan ibarətdir ki, kommutativ xassə elementlərin sırasının yekun nəticəni dəyişmədiyini bildirir, assosiativ xassə isə əməliyyatın icra sırasının yekun cavaba təsir etmədiyini bildirir..
