Ortoqonal və Ortonormal
Riyaziyyatda ortoqonal və ortonormal iki söz vektorlar dəsti ilə birlikdə tez-tez istifadə olunur. Burada “vektor” termini vektor fəzasının elementi – xətti cəbrdə istifadə olunan cəbri struktur olması mənasında istifadə olunur. Müzakirəmiz üçün biz daxili məhsul fəzasını – V vektor fəzasını V və V üzərində müəyyən edilmiş daxili məhsul ilə nəzərdən keçirəcəyik.
Nümunə olaraq, daxili məhsul üçün boşluq adi nöqtə məhsulu ilə birlikdə bütün 3 ölçülü mövqe vektorlarının çoxluğudur.
Ortoqonal nədir?
Daxili hasil fəzasının boş olmayan S alt çoxluğuna V ortoqonal deyilir, o halda və yalnız hər bir fərqli u, S-də v, [u, v]=0; yəni u və v-nin daxili hasilatı daxili hasil fəzasındakı sıfır skalara bərabərdir.
Məsələn, bütün 3 ölçülü mövqe vektorları toplusunda bu, S-də p və q mövqe vektorlarının hər bir fərqli cütü üçün p və q-nın bir-birinə perpendikulyar olduğunu söyləməyə bərabərdir. (Unutmayın ki, bu vektor fəzasındakı daxili hasil nöqtə hasilidir. Həmçinin, iki vektorun nöqtə hasili 0-a bərabərdir, o halda ki, iki vektor bir-birinə perpendikulyardır.)
3-ölçülü mövqe vektorlarının alt çoxluğu olan S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} çoxluğunu nəzərdən keçirək. Diqqət edin ki, (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Deməli, S çoxluğu ortoqonaldır. Xüsusilə, daxili hasil 0 olarsa, iki vektorun ortoqonal olduğu deyilir. Buna görə də Sis ortoqonal vektorlarının hər bir cütü.
Ortonormal nədir?
V daxili hasil fəzasının boş olmayan S alt çoxluğuna ortonormal deyilir o halda və yalnız S ortoqonaldırsa və S-dəki hər bir u vektoru üçün [u, u]=1. Buna görə də görünə bilər ki, S ortoqonaldır. hər ortonormal çoxluq ortoqonaldır, lakin əksinə deyil.
Məsələn, bütün 3 ölçülü mövqe vektorları toplusunda bu, S-də p və q mövqe vektorlarının hər bir fərqli cütü üçün p və q-nun bir-birinə perpendikulyar olduğunu söyləməyə bərabərdir və hər bir p S, |p|=1. Bunun səbəbi [p, p]=1 şərtinin p.p=|p||p|cos0=|p|2=1-ə endirilməsidir ki, bu da |p-ə ekvivalentdir. |=1. Buna görə də, ortoqonal çoxluğu nəzərə alaraq, hər vektoru onun böyüklüyünə bölməklə həmişə uyğun ortonormal çoxluq yarada bilərik.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} bütün 3 ölçülü mövqe vektorları çoxluğunun ortonormal alt çoxluğudur. S çoxluğundakı vektorların hər birini onların böyüklüyünə bölməklə əldə edildiyini asanlıqla görmək olar.
Ortoqonal və ortonormal arasındakı fərq nədir?
- Daxili hasil fəzasının V boş olmayan alt çoxluğuna S ortoqonal deyilir, o halda ki, hər bir fərqli u, v S-də [u, v]=0 olarsa. yalnız əlavə şərt o halda – S-dəki hər bir u vektoru üçün [u, u]=1 təmin edilir.
- İstənilən ortonormal çoxluq ortoqonaldır, lakin əksinə deyil.
- İstənilən ortoqonal çoxluq unikal ortonormal çoxluğa uyğundur, lakin ortonormal çoxluq bir çox ortoqonal çoxluğa uyğun ola bilər.
