İnteqrasiya və Toplama
Yuxarıda orta məktəb riyaziyyatında inteqrasiya və cəmləmə tez-tez riyazi əməliyyatlarda olur. Göründüyü kimi, onlar müxtəlif alətlər kimi və müxtəlif vəziyyətlərdə istifadə olunur, lakin çox yaxın münasibətdədirlər.
Summation haqqında ətraflı
Cəmləşdirmə rəqəmlər ardıcıllığının əlavə edilməsi əməliyyatıdır və əməliyyat tez-tez yunan hərfi siqma Σ ilə işarələnir. Cəmi qıs altmaq üçün istifadə olunur və ardıcıllığın cəmi/cəmi ilə bərabərdir. Onlar çox vaxt mahiyyətcə yekunlaşdırılan sonsuz ardıcıllıqlar olan seriyaları təmsil etmək üçün istifadə olunur. Onlar həmçinin vektorların, matrislərin və ya polinomların cəmini göstərmək üçün istifadə edilə bilər.
Toplama adətən ümumi termini olan sıra kimi ümumi terminlə təmsil oluna bilən bir sıra dəyərlər üçün edilir. Toplamanın başlanğıc və son nöqtəsi müvafiq olaraq toplamanın aşağı həddi və yuxarı həddi kimi tanınır.
Məsələn, a1, a2, a3, a ardıcıllığının cəmi 4, …, an a1 + a2 + a 3 + … + an cəmləmə qeydindən istifadə etməklə asanlıqla ∑ kimi təqdim edilə bilər i=1 ai; i toplama indeksi adlanır.
Tətbiq əsasında toplama üçün bir çox variasiya istifadə olunur. Bəzi hallarda yuxarı hədd və aşağı hədd interval və ya diapazon kimi verilə bilər, məsələn, ∑1≤i≤100 ai və ∑i∈[1, 100] ai Və ya ∑i∈P kimi ədədlər toplusu kimi verilə bilər ai, burada P müəyyən edilmiş çoxluqdur.
Bəzi hallarda iki və ya daha çox siqma işarəsindən istifadə oluna bilər, lakin onları aşağıdakı kimi ümumiləşdirmək olar; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Həmçinin, toplama bir çox cəbri qaydalara əməl edir. Daxil edilmiş əməliyyat əlavə olduğundan, cəbrin ümumi qaydalarının bir çoxu cəmlərin özünə və toplama ilə təsvir edilən fərdi şərtlərə tətbiq edilə bilər.
İnteqrasiya haqqında ətraflı
İnteqrasiya fərqləndirmənin əks prosesi kimi müəyyən edilir. Lakin onun həndəsi görünüşündə onu həm də funksiyanın əyrisi və oxun əhatə etdiyi sahə hesab etmək olar. Buna görə də, sahənin hesablanması diaqramda göstərildiyi kimi müəyyən inteqralın qiymətini verir.
Şəkil Mənbəsi:
Müəyyən inteqralın qiyməti əslində əyri və oxun daxilindəki kiçik zolaqların cəmidir. Hər bir zolağın sahəsi nəzərdən keçirilən oxun nöqtəsində hündürlük × endir. Genişlik bizim seçə biləcəyimiz dəyərdir, deyək ki, ∆x. Hündürlük isə təqribən nəzərdə tutulan nöqtədəki funksiyanın dəyəridir, deyək ki, f (xi). Diaqramdan aydın olur ki, zolaqlar nə qədər kiçik olarsa, zolaqlar məhdud əraziyə daha yaxşı uyğun gəlir, beləliklə, dəyər daha yaxşı yaxınlaşır.
Beləliklə, a və b nöqtələri arasında (yəni a<b [a, b] intervalında) ümumi olaraq müəyyən inteqral I I ≅ f (x1) kimi verilə bilər.)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, burada n zolaqların sayıdır (n=(b-a)/∆x). Sahənin bu cəmlənməsi toplama qeydindən istifadə etməklə asanlıqla təmsil oluna bilər, çünki I ∑i=1 f (xi)∆x.∆x kiçik olduqda yaxınlaşma daha yaxşı olduğundan, biz ∆x→0 olduqda qiyməti hesablaya bilərik. Buna görə də demək məntiqlidir I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
Yuxarıdakı konsepsiyadan ümumiləşdirmə olaraq, i ilə indeksləşdirilmiş hesablanmış interval əsasında ∆x seçə bilərik (mövqe əsasında sahənin enini seçmək). Sonraalırıq
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Bu, [a, b] intervalında f (x) funksiyasının Reyman İnteqralı kimi tanınır. Bu halda a və b inteqralın yuxarı sərhədi və aşağı sərhədi kimi tanınır. Reimann inteqralı bütün inteqrasiya üsullarının əsas formasıdır.
Əslində inteqrasiya düzbucaqlının eni sonsuz kiçik olduqda sahənin cəmidir.
İnteqrasiya və yekunlaşdırma arasında fərq nədir?
• Toplama ədədlər ardıcıllığının toplanmasıdır. Adətən, cəmləmə bu formada verilir ∑i=1 ai nümunə var və ümumi terminlə ifadə edilə bilər.
• İnteqrasiya əsasən funksiyanın əyrisi, oxu və yuxarı və aşağı hədləri ilə məhdudlaşan sahədir. Bu sahə məhdud əraziyə daxil olan daha kiçik sahələrin cəmi kimi verilə bilər.
• Toplama yuxarı və aşağı sərhədlərlə diskret dəyərləri, inteqrasiya isə davamlı dəyərləri əhatə edir.
• İnteqrasiya ümumiləşdirmənin xüsusi forması kimi şərh edilə bilər.
• Ədədi hesablama metodlarında inteqrasiya həmişə cəm kimi həyata keçirilir.
